和差化积公式巧计与推导

原创 LittleRob  2018-08-26 22:13:26  阅读 393 次 评论 0 条
摘要:

和差化积公式即三角函数中的一组恒等式: [1] 推导过程对于(1)至(4),可用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。由和角公式有,两式相加、减便可得到上面的公式(1)、(2),同理可证明公式(3)、(4)。对于(5)、(6),有对于(7)、(8)、(9)、(10),也可用类似的方法推出。证毕。平方形式的和差化积公式下面不加推导地给出几个公式。对于正余弦平方的减法,同样有和差化积公式: [1] 记忆方法和差化积公式的形式比较复杂,记

和差化积公式


即三角函数中的一组恒等式: [1] 

推导过程

对于(1)至(4),可用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。
由和角公式有,
两式相加、减便可得到上面的公式(1)、(2),同理可证明公式(3)、(4)。
对于(5)、(6),有
对于(7)、(8)、(9)、(10),也可用类似的方法推出。
证毕。

平方形式的和差化积公式


下面不加推导地给出几个公式。对于正余弦平方的减法,同样有和差化积公式: [1] 

记忆方法


和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。

如何只记两个公式甚至一个

我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的
  
,即
  
,这就可以用第一个公式。
同理,第四个公式中,
  
,这就可以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把余弦全部转化为正弦,那样就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2] ,因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积

无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β,这两个角应该是
  
  
,也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积

这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。
是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
 
的三角函数名规律为:和化为积时,以
  
的形式出现;反之,以
  
的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把
  
替换为
 
,结果应当是一样的,从而
  
的形式是
  
;另一种情况可以类似说明。

余弦·余弦差公式中的顺序相反与负号

这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如
  
内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α >β 时,
  
小于
  
。但是这时对应的
  
  
在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把
  
放到
  
前面,要么就在式子的最前面加上负号。

记忆口诀


(一)
正加正,正在前,
 
余加余,余并肩。
 
正减正,余在前,
 
余减余,负正弦。
 
(反之亦然)
(二)
帅+帅=帅哥,
 
帅-帅=哥帅,
 
哥+哥=哥哥,
 
哥-哥=负嫂嫂。
 
(反之亦然)
(三)
口口之和仍口口,
 
赛赛之和赛口留,
 
口口之差负赛赛,
 
赛赛之差口赛收。
 
(四)
正和正在先,
 
正差正后迁,
 
余和一色余,
 
余差翻了天。
 
(五)
正弦加正弦,正弦在前面,
 
正弦减正弦,余弦在前面,
 
余弦加余弦,余弦全部见,
 
余弦减余弦,负正弦来见。
 
(前提是角度
  
在前,
  
在后的标准形式)
(六)
和差化积:
同名和差三角积,(
  
  
:等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。)
左是
  
  
,(
  
:等式左边是先
  
  
右是两角和与差。(
  
  
:等式右边是
  
  
双正S SC,(
  
:“正”表示两个正弦中间的“+”,
  
双负S CS,(
  
:“负”表示两个正弦中间的“-”,
  
双正C对正双C,(
  
:“正”表示两余弦中间的“+”,
  
双负C对负S。(
  
:“负”表示两余弦中间的“-”,
  
(七)
和差化积二倍半,和前函数名不变;余弦稳正弦跳,余弦相减取负号。


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